整数論・暗号理論・符号理論　PARI/GPで計算しながら学ぶ

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• 整数論・暗号理論・符号理論（近代科学社ウェブサイト）

内容紹介

本書は「整数論」「暗号理論」「符号理論」の三科目を統合的に解説する教科書であり、特に暗号理論および符号理論の理解に不可欠な整数論を網羅しています。

整数論の章では、現代暗号の基礎となる数の集合論、群・環・体といった代数的な概念から、割り算の原理、ユークリッドの互除法、合同式、フェルマーの小定理、中国剰余定理といった基本定理群を解説します。とくに、楕円曲線上の演算とガロア体（有限体）の解説を丁寧に詳述。付録にあるプログラムでは、ガロア体を生成できる原始多項式をすべてリストアップできます。

暗号理論の章では、現代暗号の構築原理と、その安全性の根拠となる数学的な難問に焦点を当てています。公開鍵暗号の安全性レベル、素因数分解問題や離散対数問題といった暗号の根幹をなす課題を掘り下げ、鍵交換プロトコル、ディジタル署名、一方向性ハッシュ関数、メッセージ認証符号（MAC）、ブロックチェーンと暗号通貨といった主要技術を詳細に解説しています。

符号理論の章では、情報伝送における誤り訂正技術について解説を展開し、符号理論の基礎概念から、情報源符号化および通信路符号化の基本定理、LZ77符号、線形符号、巡回符号、ハミング符号、リード・ソロモン（RS）符号、BCH符号、畳み込み符号、ターボ符号、LDPC符号、QRコードのメカニズムに至るまで、多岐にわたる符号化技術を包括的に紹介しています。

また本書ではPARI/GPおよびSageMathを用いた多数のプログラミング例を提示しており、実際に計算プロセスを追体験することで、各アルゴリズムの動作原理や数学的性質に対する深い洞察を得ることが可能となっています。実践的な応用力まで身につけることができる本格的な教科書です。

書誌情報

• 著者: 鈴木 英男
• 発行日: 2025-08-29
• 最終更新日: 2025-08-29
• バージョン: 1.0.0
• ページ数: 382ページ(PDF版換算)
• 対応フォーマット: PDF, EPUB
• 出版社: 近代科学社Digital

対象読者

RSA暗号,素因数分解,楕円曲線,ガロア体,符号理論,ハッシュ関数,ブロックチェーン,仮想通貨,ポスト量子暗号,格子暗号,秘密鍵暗号方式,公開鍵暗号方式,ディジタル署名,QRコード,Euclid互除法,原始根,中国剩余定理に興味がある人

著者について

鈴木 英男

三重県生まれ.

東北大学大学院博士課程修了，博士（工学）.東北大学助手，Stanford大学客員研究員を経て，現在東京情報大学教授.

目次

まえがき

記号

第1章 整数論

• 1.1 現代暗号と整数論
• 1.2 数の集合
• 1.3 剰余系 (mod で割った余りの集合)
• 1.4 群・環・体
• 1.5 多項式環
• 1.6 整数論計算電卓
• 1.7 整数論の基本
• 1.8 割り算, 余り (剰余),Euclid互除法
• 1.9 合同式 (≡)
• 1.10 Fermatの小定理とその拡張
• 1.11 ax ≡ b (mod m)の解x
• 1.12 連立合同式, 中国剰余定理
• 1.13 -5mumod5mu-における多項式
• 1.14 原始根 (生成元)
• 1.15 (mod n) や (mod p) におけるべき乗と対数の計算
• 1.16 2次の合同式, 平方剰余, 平方非剰余
• 1.17 Z31におけるn乗剰余(n=2,3,5,6,10,15,25)
• 1.18 楕円曲線上の演算
• 1.19 ガロア体 (有限体)

第2章 暗号理論

• 2.1 現代暗号
• 2.2 公開鍵暗号の安全性レベル
• 2.3 解読チャレンジ
• 2.4 暗号方式選択コンペティション
• 2.5 プライバシー強化技術 (PET)
• 2.6 自分の計算機 (PC) で使える暗号関数 openssl
• 2.7 任意多倍長精度演算パッケージ
• 2.8 秘密鍵暗号方式
• 2.9 暗号利用モード
• 2.10 公開鍵暗号方式
• 2.11 現代暗号の基礎となる整数論問題
• 2.12 素因数分解問題
• 2.13 離散対数問題
• 2.14 鍵交換
• 2.15 ディジタル署名
• 2.16 一方向性ハッシュ関数
• 2.17 メッセージ認証符号 MAC
• 2.18 ゼロ知識対話型証明
• 2.19 NIST PQC (ポスト量子暗号)
• 2.20 SIKE (SIDH ベースの鍵交換方式)
• 2.21 符号暗号 McEliece暗号
• 2.22 格子暗号

第3章 符号理論

• 3.1 符号理論の基礎
• 3.2 情報源符号化
• 3.3 Shannon符号とFano符号
• 3.4 Huffman符号
• 3.5 LZ77 (Lempel Ziv 1977) 符号
• 3.6 通信路符号化
• 3.7 誤り検出符号
• 3.8 線形符号
• 3.9 組織符号と非組織符号の例 ((7,4,3)Hamming符号)
• 3.10 巡回 (cyclic) 符号
• 3.11 Hamming符号
• 3.12 (8,4,4)拡大Hamming符号
• 3.13 Reed Solomon (RS) 符号
• 3.14 BCH符号
• 3.15 Reed Muller (RM) 符号
• 3.16 Polar符号
• 3.17 畳込み (convolutional) 符号
• 3.18 Turbo符号
• 3.19 LDPC符号
• 3.20 QRコード

付録A

• A.1 PARI/GP インストール方法
• A.2 PARI/GP計算のTips
• A.3 PARI/GPコマンド問題の練習
• A.4 PARI/GPの配列関係コマンド問題の練習
• A.5 PARI/GPのユーザ定義関数プログラムリスト
• A.6 PARI/GPのユーザ定義関数プログラム
• A.7 PARI/GPによるAES暗号化・復号プログラム
• A.8 SageMath インストール方法
• A.9 SageMath計算のTips
• A.10 楕円曲線素因数分解ソフトGMP-ECM
• A.11 素因数分解ソフトMsieve
• A.12 Alpernによる素因数分解WebAssemblyプログラム
• A.13 WebAssembly
• A.14 連立方程式の解き方
• A.15 ギリシャ文字
• A.16 6473以下の (840個の) 素数pと, 最小の原始根g

引用・参考文献