リーマン積分からたどる ルベーグ積分入門

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内容紹介

本書はできるだけ素朴な疑問から出発することを目指して執筆しました．まず第1章ではリーマン積分を振り返り，その限界や問題点を明確にします．続く第2章ではジョルダン測度を経由してルベーグ外測度・ルベーグ測度を導入し，ルベーグ可測集合の概念を確立します．第3章ではルベーグ可測関数を扱い，単関数や階段関数による近似を通じて基本的な性質を整理します．第4章ではルベーグ積分を定義し，単調収束定理，ファトゥの補題，優収束定理といった基本定理を中心に理論を展開するとともに，リーマン積分との関係やフビニの定理にも触れます．最後に第5章では，本文で扱いきれなかった補足事項や各種定理の証明をまとめています．

書誌情報

• 著者: 堀田 一敬
• 発行日: 2026-07-03
• 最終更新日: 2026-07-03
• バージョン: 1.0.0
• ページ数: 204ページ(PDF版換算)
• 対応フォーマット: PDF, EPUB
• 出版社: 近代科学社Digital

対象読者

著者について

堀田 一敬

山口大学 大学院 創成科学研究科 教授．
2004年3月東京都立大学理学部数学科B類卒業，2007年3月東京都立大学大学院理学研究科数学専攻修士課程修了，2010年3月東北大学大学院情報科学研究科情報基礎科学専攻博士後期課程修了，博士号（情報科学）を取得．
その後，東北大学情報科学研究科研究員，The State School of Higher Education in Chełm（ポーランド）講師，Maria Curie-Skłodowska University（ポーランド）招待講師，University of Würzburg（ドイツ）DAAD博士研究員，日本学術振興会特別研究員（PD），University of Würzburg（ドイツ）客員研究員，山口大学大学院創成科学研究科講師，准教授を経て現職．

目次

第1章　リーマン積分

• 1.1　基本事項
• 1.2　リーマン積分の定義
• 1.3　リーマン可積分性の必要十分条件
• 1.4　リーマン積分の性質
• 1.5　不連続な関数のリーマン可積分性
• 1.6　リーマン可積分関数の合成関数
• 1.7　リーマン可積分関数列とその極限
• 1.8　微分積分学の基本定理
• 1.9　広義リーマン積分
• 1.10　ルベーグによるリーマン可積分性定理
• 1.11　補足1：ダルブー積分とリーマン積分
• 1.12　補足2：カントール集合とカントール関数
• 演習問題

第2章　ルベーグ測度

• 2.1　「長さを測る」ということ
• 2.2　ジョルダン測度
• 2.3　ルベーグ外測度
• 2.4　ルベーグ内測度?
• 2.5　ルベーグ測度
• 2.6　カラテオドリの条件
• 2.7　ルベーグ非可測集合
• 2.8　ルベーグ測度の一意性
• 演習問題

第3章　ルベーグ可測関数

• 3.1　「測れる集合」から「測れる関数」へ
• 3.2　ルベーグ可測関数の定義
• 3.3　ルベーグ可測関数の基本性質
• 3.4　ほとんどいたるところ
• 3.5　ルベーグ可測関数の合成関数
• 3.6　ルベーグ可測関数列とその極限
• 3.7　単関数による近似
• 3.8　階段関数による近似
• 演習問題

第4章　ルベーグ積分

• 4.1　「測れる関数」を積分する
• 4.2　単関数に対するルベーグ積分の定義と性質
• 4.3　一般の可測関数に対するルベーグ積分の定義
• 4.4　ルベーグ積分の基本性質
• 4.5　単調収束定理
• 4.6　ファトゥの補題
• 4.7　優収束定理
• 4.8　リーマン積分とルベーグ積分
• 4.9　フビニの定理とトネリの定理
• 演習問題

第5章　各種定理の証明と補足事項

• 5.1　ジョルダン可測集合の基本性質
• 5.2　太ったカントール集合のジョルダン外測度
• 5.3　ジョルダン測度の一意性定理
• 5.4　ルベーグ積分の「横切り」についての補足
• 演習問題